Densité de Q dans R - Alfa Schola

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Densité de Q dans R

Université
Densité de Q dans R
Théorème
Q est dense dans R. (Entre deux réels distincts il existe un rationnel )

Preuve (Voir livre Au-delà de l'analyse moderne, Tome1 page 16)

Exercice N°1
Etudier la continuité de la fonction f suivante sur leur domaine de définition:
f: R ---> R définie par f(x)=1   si   x ∈ Q   et   f(x)=0   si   x ∉ Q.

Réponse
On sait que Q et R\Q sont denses dans R:
pour tout ɣ ∈ R on peut trouver une suite (Un) de Q et une suite (Vn) de R\Q qui convergent vers ɣ:
                                    c'est à dire Un ---> ɣ et Vn ---> ɣ.
D'après la définition de la fonction f on a
                                             f(Un)=1 et f(Vn)=0
On remarque que les suites (f(Un)) et (f(Vn)) ne convergent pas vers la meme limite alors que (Un) et (Vn) convergent toutes les deux vers ɣ.
                                     Alors, f n'est pas continue en ɣ.
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