Densité de Q dans R
Théorème
Q est dense dans R. (Entre deux réels distincts il existe un rationnel )
Preuve (Voir livre Au-delà de l'analyse moderne, Tome1 page 16)
Exercice N°1
Etudier la continuité de la fonction f suivante sur leur domaine de définition:
f: R ---> R définie par f(x)=1 si x ∈ Q et f(x)=0 si x ∉ Q.
Réponse
On sait que Q et R\Q sont denses dans R:
pour tout ɣ ∈ R on peut trouver une suite (Un) de Q et une suite (Vn) de R\Q qui convergent vers ɣ:
c'est à dire Un ---> ɣ et Vn ---> ɣ.
D'après la définition de la fonction f on a
f(Un)=1 et f(Vn)=0
On remarque que les suites (f(Un)) et (f(Vn)) ne convergent pas vers la meme limite alors que (Un) et (Vn) convergent toutes les deux vers ɣ.
Alors, f n'est pas continue en ɣ.